MathLabs

アジア太平洋数学オリンピック · 2005年

問題

  1. 第1問任意の無理数 a に対し、a+b と ab' は有理数であるが、ab と a+b' は無理数となるような無理数 b,b' が存在することを証明せよ。解答: 1
  2. 第2問abc=8 を満たす正の実数 a,b,c について、a の平方を (1+a の立方)(1+b の立方) の平方根で割った項とその巡回項2つの和が 4/3 以上であることを証明せよ。解答: 1
  3. 第3問2005個の合同な三角形に分割できる三角形が存在することを証明せよ。解答: 1
  4. 第4問n×n の町の家を (i,j) で番号付けし、(1,1) を左上とする。時刻0に (1,c) が燃え、c≤n/2 とする。各単位時間に消防士はまだ燃えていない家を1軒守り、その後、区間開始時に燃えていた各家から、守られていない隣接家へ火が広がる。守った家は常に守られる。救える家の最大数を求めよ。隣接とは、一方の座標だけが1異なることをいう。解答: 1
  5. 第5問三角形 ABC で、M,N はそれぞれ AB,AC 上にあり MB=BC=CN を満たす。ABC の外接円半径を R、内接円半径を r とするとき、MN/BC を R,r で表せ。解答: 1