アジア太平洋数学オリンピック · 2006年

問題

第1問 $n$ を正の整数とする。実数 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ の和が整数であるとき、ある添字 $i$ が存在して $\left|a_i-\frac12\right|\ge f(n)$ となるような非負実数 $f(n)$ の最大値を求めよ。解答: 1
第2問全ての正の整数が黄金比 $\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}$ の相異なる整数べきの有限和として表せることを証明せよ。ここで整数べきとは、 $i$ が正とは限らない整数である $\phi^i$ をいう。解答: 1
第3問 $p\ge5$ を素数とする。同一な $p$ 個の駒を $p\times p$ の盤に、全てが同じ行にはならないように置く方法の数を $r$ とする（同じ列には全て置いてよい）。 $r$ が $p^5$ で割り切れることを証明せよ。解答: 1
第4問与えられた円 $O$ 上の異なる2点を $A,B$ とし、 $P$ を $AB$ の中点とする。 $AB$ に $P$ で接し、かつ $O$ に接する円を $O_1$ とする。 $AB$ と異なる、 $A$ を通る $O_1$ の接線を $\ell$ とし、 $\ell$ と $O$ の $A$ 以外の交点を $C$ とする。 $Q$ を $BC$ の中点とし、 $BC$ に $Q$ で接し、線分 $AC$ に接する円を $O_2$ とする。 $O_2$ が $O$ に接することを証明せよ。解答: 1
第5問サーカスに $n$ 人の道化師がおり、12色の異なる色から選んで服装と化粧をする。各道化師は少なくとも5色を使う。団長は、同じ色の集合を使う道化師が2人おらず、どの1色も20人を超える道化師が使わないことを要求した。可能な $n$ の最大値を求めよ。解答: 1