MathLabs

アジア太平洋数学オリンピック · 2007年

問題

  1. 第1問素因数が全て3以下である相異なる9個の整数からなる集合を SS とする。SS は積が完全立方となる相異なる3整数を含むことを証明せよ。解答: 1
  2. 第2問∠BAC=60∘\angle BAC=60^\circ かつ AB>ACAB>AC である鋭角三角形 ABCABC を考える。II を内心、HH を垂心とする。2∠AHI=3∠ABC2\angle AHI=3\angle ABC を証明せよ。解答: 1
  3. 第3問平面上の nn 個の円板 C1,C2,…,CnC_1,C_2,\ldots,C_n を考え、各 1≤i<n1\le i<n で CiC_i の中心が Ci+1C_{i+1} の円周上にあり、CnC_n の中心が C1C_1 の円周上にあるとする。CiC_i が CjC_j を真に含む順序対 (i,j)(i,j) の個数を得点とする。得点の最大値を求めよ。解答: 1
  4. 第4問正の実数 x,y,zx,y,z が x+y+z=1x+y+z=1 を満たすとする。x2+yz2x2(y+z)+y2+zx2y2(z+x)+z2+xy2z2(x+y)≥1\frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\frac{y^2+zx}{\sqrt{2y^2(z+x)}}+\frac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\ge1 を証明せよ。解答: 1
  5. 第5問正方形の 5×55\times5 個のライトの配列が故障しており、1つのライトのスイッチを操作すると、そのライト自身と同じ行または同じ列で隣接するライトの状態も変わる。最初は全て消灯している。何回か操作した後ちょうど1つだけ点灯するとき、そのライトの可能な位置を全て求めよ。解答: 1