コンテスト › アジア太平洋数学オリンピック › 2009年 第1問 黒板に書かれた正の実数に次の操作を行う。黒板上の数 r r r 2 r 2 = a b 2r^2=ab 2 r 2 = ab a a a b b b r r r k 2 − 1 k^2-1 k 2 − 1 k 2 k^2 k 2 k r kr k r 解答: 1 第2問 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 a_1,a_2,a_3,a_4,a_5 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 k = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 k=1,2,3,4,5 k = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 a 1 k 2 + 1 + a 2 k 2 + 2 + a 3 k 2 + 3 + a 4 k 2 + 4 + a 5 k 2 + 5 = 1 k 2 \frac{a_1}{k^2+1}+\frac{a_2}{k^2+2}+\frac{a_3}{k^2+3}+\frac{a_4}{k^2+4}+\frac{a_5}{k^2+5}=\frac1{k^2} k 2 + 1 a 1 + k 2 + 2 a 2 + k 2 + 3 a 3 + k 2 + 4 a 4 + k 2 + 5 a 5 = k 2 1 a 1 37 + a 2 38 + a 3 39 + a 4 40 + a 5 41 \frac{a_1}{37}+\frac{a_2}{38}+\frac{a_3}{39}+\frac{a_4}{40}+\frac{a_5}{41} 37 a 1 + 38 a 2 + 39 a 3 + 40 a 4 + 41 a 5 解答: 1 第3問 平面上に、互いに交わらず外部にある3つの円 Γ 1 , Γ 2 , Γ 3 \Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3 Γ 1 , Γ 2 , Γ 3 P P P A 1 , B 1 , A 2 , B 2 , A 3 , B 3 A_1,B_1,A_2,B_2,A_3,B_3 A 1 , B 1 , A 2 , B 2 , A 3 , B 3 i = 1 , 2 , 3 i=1,2,3 i = 1 , 2 , 3 P A i PA_i P A i P B i PB_i P B i Γ i \Gamma_i Γ i A i , B i A_i,B_i A i , B i Γ i \Gamma_i Γ i A 1 B 1 , A 2 B 2 , A 3 B 3 A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3 A 1 B 1 , A 2 B 2 , A 3 B 3 P P P 解答: 1 第4問 任意の正整数 k k k a i , b i a_i,b_i a i , b i i = 1 , 2 , … , k i=1,2,\ldots,k i = 1 , 2 , … , k a 1 b 1 , a 2 b 2 , … , a k b k \frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},\ldots,\frac{a_k}{b_k} b 1 a 1 , b 2 a 2 , … , b k a k a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , … , a k , b k a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots,a_k,b_k a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , … , a k , b k 解答: 1 第5問 Larry と Rob は1台の車を運転して Argovia から Zillis へ向かう2台のロボットである。両者は操舵を制御し、次の規則に従う。Larry は出発から ℓ \ell ℓ r r r ℓ \ell ℓ r r r ( ℓ , r ) (\ell,r) ( ℓ , r ) 解答: 1 ホーム ライブラリ 重要問題 クイズ 数学者 コンテスト