アジア太平洋数学オリンピック · 2016年

問題

第1問三角形 $ABC$ が「great」であるとは、辺 $BC$ 上の任意の点 $D$ について、 $D$ から直線 $AB$ 、 $AC$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $P$ 、 $Q$ とするとき、 $D$ を直線 $PQ$ に関して反転した点が三角形 $ABC$ の外接円上にあることをいう。三角形 $ABC$ が great であることと、 $\angle A=90^\circ$ かつ $AB=AC$ であることが同値であることを証明せよ。解答: 1
第2問 $2^{a_1}+2^{a_2}+\cdots+2^{a_{100}}$ （ $a_1,a_2,\ldots,a_{100}$ は互いに異なるとは限らない非負整数）の形に表せる正整数を「fancy」と呼ぶ。 $n$ のどの倍数も fancy な数にならないような最小の正整数 $n$ を求めよ。解答: 1
第3問 $AB$ と $AC$ を同一直線上にない相異なる二つの半直線とし、 $\omega$ を中心 $O$ の円で、半直線 $AC$ に点 $E$ で、半直線 $AB$ に点 $F$ で接するものとする。 $R$ を線分 $EF$ 上の点とする。 $O$ を通り $EF$ に平行な直線が直線 $AB$ と交わる点を $P$ とする。直線 $PR$ と $AC$ の交点を $N$ 、直線 $AB$ と $R$ を通り $AC$ に平行な直線との交点を $M$ とする。直線 $MN$ が $\omega$ に接することを証明せよ。解答: 1
第4問ドリームランドという国は $2016$ の都市からなる。航空会社スターウェイズは、各都市がちょうど一本の出発便を持つように、都市の組の間に一方向の便をいくつか設定したい。スターウェイズがどのように便を設定しても、任意の都市から高々 $28$ 回の便で同じ組の別の都市に到達できないように都市を $k$ 個の組に分けられるような最小の正整数 $k$ を求めよ。解答: 1
第5問すべての正実数 $x,y,z$ に対して $(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)$ を満たす関数 $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ をすべて求めよ。解答: 1