アジア太平洋数学オリンピック · 2026年

問題

第1問 $o \ge 2$ を満たす正の整数の組 $(a, p, m, o)$ で $a! + p! = m^o + 26$ となるものをすべて求めよ。解答: 1
第2問 $n \ge 2$ を整数とする。 $n$ 個の要素からなる集合の $2^n$ 個の部分集合すべてを、ある順序で $A_1, A_2, \dots, A_{2^n}$ とする。次を証明せよ。 $|A_1\setminus A_2| + |A_2\setminus A_3| + \cdots + |A_{2^n-1}\setminus A_{2^n}| + |A_{2^n}\setminus A_1| \ge 2^{n-2}.$ 解答: 1
第3問正の実数全体の集合を $\mathbb{R}_+$ と表す。すべての $x,y,z\in\mathbb{R}_+$ に対して $|x-y|<|y-z|\ \text{if and only if}\ |f(x)-f(y)|<|f(y)-f(z)|.$ を満たす関数 $f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$ をすべて求めよ。解答: 1
第4問四角形 $ABCD$ が内接円 $\omega$ （中心 $I$ ）を持つとする。対角線 $AC$ と $BD$ は点 $E$ で交わる。 $ABD$ の内心を $J$ とする。半直線 $EJ$ の延長が $\omega$ と交わる点を $P$ とする。 $PI\perp BD$ を証明せよ。解答: 1
第5問 $n$ を正の整数とする。 $(n+1)\times n$ 型に並んだ $n(n+1)$ 個の部屋がある。隣り合う二部屋の間には扉が一つある。扉の部分集合を選んで施錠し、次を満たす二部屋 $S$ 、 $G$ が存在するようにする方法の数を求めよ。 (i) $S$ は第 1 行、 $G$ は第 $(n+1)$ 行にある。 (ii) 施錠されていない扉のみを使って $S$ から $G$ に到達できる。解答: 1