第1問

3人のプレイヤー

A

、

B

、

C

が次のゲームをする。3枚のカードそれぞれに整数が書かれており、その3つの数

p, q, r

は

0 < p < q < r

を満たす。3枚のカードをシャッフルして各プレイヤーに1枚ずつ配り、各プレイヤーは自分が持つカードに書かれた数と同じ枚数のおはじきを受け取る。カードは再びシャッフルされて配られ、これを少なくとも2回繰り返す(それ以前のラウンドで得たおはじきはそのままプレイヤーの手元に残る)。最後のラウンドの後、

A

は合計

20

枚、

B

は

10

枚、

C

は

9

枚のおはじきを持っていた。最後のラウンドで

B

は

r

枚を受け取った。1回目のラウンドで

q

枚を受け取ったのは誰か?

ステップ 1/6: おはじきの総数がラウンド数を決める

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

同じ量(これまでに配られたおはじきすべて)を2通りの方法(ラウンドごと、そしてプレイヤーごと)で数えることで、複雑な配牌の過程が1つの代数方程式に変わる。

n(p+q+r)=20+10+9=39

詳しい解説

プレイされたラウンド数を $n$ とする。各ラウンドで3人のプレイヤーは合わせてちょうど $p+q+r$ 枚のおはじきを受け取る(1人1枚のカード)ので、 $n$ ラウンド後に配られたおはじきの総数は $n(p+q+r)$ である。3つの最終合計を足すと $20+10+9=39$ となるので、 $n(p+q+r)=39$ である。