MathLabs

第1問

3人のプレイヤー AA、BB、CC が次のゲームをする。3枚のカードそれぞれに整数が書かれており、その3つの数 p,q,rp, q, r は 0<p<q<r0 < p < q < r を満たす。3枚のカードをシャッフルして各プレイヤーに1枚ずつ配り、各プレイヤーは自分が持つカードに書かれた数と同じ枚数のおはじきを受け取る。カードは再びシャッフルされて配られ、これを少なくとも2回繰り返す(それ以前のラウンドで得たおはじきはそのままプレイヤーの手元に残る)。最後のラウンドの後、AA は合計 2020 枚、BB は 1010 枚、CC は 99 枚のおはじきを持っていた。最後のラウンドで BB は rr 枚を受け取った。1回目のラウンドで qq 枚を受け取ったのは誰か?
ステップ 3/6: 最大のカード rr を 66 と 88 の間に絞り込む
前のステップ次のステップ
10−r≥2p≥2  ⟹  r≤8,3r≥20  ⟹  r≥710-r\ge 2p\ge2 \implies r\le8,\qquad 3r\ge20 \implies r\ge7
詳しい解説

BB の 33 ラウンドでの合計 1010 には(最後のラウンドで受け取った)rr が1枚含まれる。残り2ラウンドで BB はさらに少なくとも 2p2p 枚を得るので、10−r≥2p≥210-r\ge2p\ge2、すなわち r≤8r\le8。AA の合計 2020 は各々 rr 以下の3枚のカードの和なので 3r≥203r\ge20、rr が整数であることから r≥7r\ge7 となる。よって r∈{7,8}r\in\{7,8\}。