MathLabs

第1問

3人のプレイヤー AA、BB、CC が次のゲームをする。3枚のカードそれぞれに整数が書かれており、その3つの数 p,q,rp, q, r は 0<p<q<r0 < p < q < r を満たす。3枚のカードをシャッフルして各プレイヤーに1枚ずつ配り、各プレイヤーは自分が持つカードに書かれた数と同じ枚数のおはじきを受け取る。カードは再びシャッフルされて配られ、これを少なくとも2回繰り返す(それ以前のラウンドで得たおはじきはそのままプレイヤーの手元に残る)。最後のラウンドの後、AA は合計 2020 枚、BB は 1010 枚、CC は 99 枚のおはじきを持っていた。最後のラウンドで BB は rr 枚を受け取った。1回目のラウンドで qq 枚を受け取ったのは誰か?
ステップ 4/6: r=7r=7 を除外する
前のステップ次のステップ
r=7,10−r=3  ⟹  p+q=3  ⟹  p+q+r=10≠13r=7,\quad 10-r=3\implies p+q=3\implies p+q+r=10\ne13
詳しい解説

r=7r=7 とすると、最後のラウンドより前に B が受け取った2枚の合計は 10−7=310-7=3 である。どちらかが rr なら和は少なくとも 7+1>37+1>3 なので、2枚とも pp または qq である。2p=32p=3 は整数 pp では不可能で、2q≥42q\ge4 だから、残る可能性は p+q=3p+q=3 だけである。従って p=1,q=2p=1,q=2 となり、p+q+r=10p+q+r=10 はステップ2に矛盾する。よって r≠7r\ne7。