第1問

3人のプレイヤー

A

、

B

、

C

が次のゲームをする。3枚のカードそれぞれに整数が書かれており、その3つの数

p, q, r

は

0 < p < q < r

を満たす。3枚のカードをシャッフルして各プレイヤーに1枚ずつ配り、各プレイヤーは自分が持つカードに書かれた数と同じ枚数のおはじきを受け取る。カードは再びシャッフルされて配られ、これを少なくとも2回繰り返す(それ以前のラウンドで得たおはじきはそのままプレイヤーの手元に残る)。最後のラウンドの後、

A

は合計

20

枚、

B

は

10

枚、

C

は

9

枚のおはじきを持っていた。最後のラウンドで

B

は

r

枚を受け取った。1回目のラウンドで

q

枚を受け取ったのは誰か?

ステップ 5/6:

p=1

、

q=4

、

r=8

を確定する

前のステップ次のステップ

r=8,\quad 10-8=2=2p \implies p=1,\quad q=13-1-8=4

詳しい解説

したがって $r=8$ であり、 $B$ の残り2ラウンドでの $10-8=2$ は $2p,\,p+q,\,2q$ のいずれかに等しい。 $2\le2p<p+q<2q$ なので、最小値 $2$ に等しくなりうるのは $2p$ のみで、 $p=1$ を得る。すると $q=13-p-r=13-1-8=4$ 。