第1問

3人のプレイヤー

A

、

B

、

C

が次のゲームをする。3枚のカードそれぞれに整数が書かれており、その3つの数

p, q, r

は

0 < p < q < r

を満たす。3枚のカードをシャッフルして各プレイヤーに1枚ずつ配り、各プレイヤーは自分が持つカードに書かれた数と同じ枚数のおはじきを受け取る。カードは再びシャッフルされて配られ、これを少なくとも2回繰り返す(それ以前のラウンドで得たおはじきはそのままプレイヤーの手元に残る)。最後のラウンドの後、

A

は合計

20

枚、

B

は

10

枚、

C

は

9

枚のおはじきを持っていた。最後のラウンドで

B

は

r

枚を受け取った。1回目のラウンドで

q

枚を受け取ったのは誰か?

ステップ 6/6: 第1ラウンドを復元する

前のステップ次のステップ

A=\{r,r,q\},\ B=\{p,p,r\},\ C=\{q,q,p\}\ \Rightarrow\ \text{round }1:\ A=r,\ B=p,\ C=q

詳しい解説

$p=1,q=4,r=8$ のとき、 $20,10,9$ を $\{1,4,8\}$ から選んだ3枚のカードの和として表す方法は $20=8+8+4$ 、 $10=1+1+8$ 、 $9=4+4+1$ のみである。よって3ラウンドを通じて $A$ は $\{r,r,q\}$ 、 $B$ は $\{p,p,r\}$ 、 $C$ は $\{q,q,p\}$ のカードを持っていたことになる。 $B$ の唯一の $r$ カードは（与えられた条件により）最後のラウンドで使われるので、 $B$ はラウンド $1$ と $2$ で $p$ を持っていた。 $C$ は決して $r$ を持たないので、ラウンド $1,2$ の $r$ カードは $A$ に渡らざるを得ず、残る $q$ が $C$ に渡る。したがって第 $1$ ラウンドは $A=r,\,B=p,\,C=q$ であり、中間のカード $q$ は $C$ が受け取った。