MathLabs

第3問

任意の整数 n≥0n\ge0 に対して、∑k=0n(2n+12k+1)23k\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}2^{3k} が 55 で割り切れないことを証明せよ。
ステップ 1/5: 法 55 で和を書き換える
前のステップ次のステップ
2nS=∑j=0n(2n+12j)2j(mod5)2^nS=\sum_{j=0}^{n}\binom{2n+1}{2j}2^j\pmod5
詳しい解説

j=n−kj=n-k と置いて二項係数の添字を反転する。2n2^n を掛けると冪は 2n23(n−j)=24n−3j≡2j(mod5)2^n2^{3(n-j)}=2^{4n-3j}\equiv2^j\pmod5 となるので、法 55 で 2nS=∑j=0n(2n+12j)2j2^nS=\sum_{j=0}^{n}\binom{2n+1}{2j}2^j である。2n2^n は法 55 で零でないので、この新しい和が零でないことを示せば十分である。