MathLabs

第3問

任意の整数 n≥0n\ge0 に対して、∑k=0n(2n+12k+1)23k\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}2^{3k} が 55 で割り切れないことを証明せよ。
ステップ 2/5: 有理部分を取り出す
前のステップ次のステップ
2nS=α,(1+2)2n+1=α+β22^nS=\alpha,\quad (1+\sqrt2)^{2n+1}=\alpha+\beta\sqrt2
詳しい解説

(1+2)2n+1(1+\sqrt2)^{2n+1} を展開する。2\sqrt2 の偶数べきの項は F5\mathbb F_5 内で α=∑j=0n(2n+12j)(2)2j=2nS\alpha=\sum_{j=0}^{n}\binom{2n+1}{2j}(\sqrt2)^{2j}=2^nS となり、奇数べきの項はある β∈F5\beta\in\mathbb F_5 による β2\beta\sqrt2 となる。