MathLabs

第3問

任意の整数 n≥0n\ge0 に対して、∑k=0n(2n+12k+1)23k\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}2^{3k} が 55 で割り切れないことを証明せよ。
ステップ 4/5: 零と仮定すると非剰余になる
前のステップ次のステップ
α=0  ⟹  2β2=1  ⟹  β2=3(mod5)\alpha=0\implies 2\beta^2=1\implies\beta^2=3\pmod5
詳しい解説

α=0\alpha=0 とするとノルムの式から 2β2=12\beta^2=1、従って法 55 で β2=2−1=3\beta^2=2^{-1}=3 となる。しかし法 55 の平方剰余は 0,1,40,1,4 だけなので 33 は平方ではない。この矛盾から α≠0\alpha\ne0 が従う。