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第4問

8×88\times8 のチェス盤を pp 個の互いに重ならない長方形に分割する。各長方形は白マスと黒マスを同数含む。第 ii 長方形の白マス数を aia_i とするとき a1<a2<⋯<apa_1<a_2<\cdots<a_p とする。可能な pp の最大値を求め、その pp に対するすべての数列 a1,…,apa_1,\ldots,a_p を求めよ。
ステップ 1/5: 白マスを数える
前のステップ次のステップ
a1+⋯+ap=32,32≥1+2+⋯+p=p(p+1)2a_1+\cdots+a_p=32,\qquad 32\ge1+2+\cdots+p=\frac{p(p+1)}2
詳しい解説

盤全体には白マスが 3232 個ある。第 ii 長方形に白マスが aia_i 個あり、長方形は盤を分割するので a1+⋯+ap=32a_1+\cdots+a_p=32。狭義単調性と正性から ai≥ia_i\ge i であり、32≥1+2+⋯+p=p(p+1)/232\ge1+2+\cdots+p=p(p+1)/2 となる。