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第4問

8×88\times8 のチェス盤を pp 個の互いに重ならない長方形に分割する。各長方形は白マスと黒マスを同数含む。第 ii 長方形の白マス数を aia_i とするとき a1<a2<⋯<apa_1<a_2<\cdots<a_p とする。可能な pp の最大値を求め、その pp に対するすべての数列 a1,…,apa_1,\ldots,a_p を求めよ。
ステップ 3/5: 最大の白マス数は 1111 以上ではない
前のステップ次のステップ
32−a7≥1+⋯+6=21  ⟹  a7≥11;a7=11⇒2a7=22∈{1×22,2×11}32-a_7\ge1+\cdots+6=21\implies a_7\ge11;\quad a_7=11\Rightarrow 2a_7=22\in\{1\times22,2\times11\}
詳しい解説

p=7p=7 と仮定する。最初の6項の和は少なくとも 1+⋯+6=211+\cdots+6=21 なので、a7=32−(a1+⋯+a6)≤11a_7=32-(a_1+\cdots+a_6)\le11。もし a7=11a_7=11 なら白 1111 マス、黒 1111 マスで面積 2222 の長方形となるが、整数辺長は 1×221\times22 または 2×112\times11 しかなく、8×88\times8 盤に入らない。ゆえに a7≠11a_7\ne11、したがって a7≤10a_7\le10。