第6問

整数係数をもつ非定数多項式

P

を考える。

P(k)^2=1

を満たす相異なる整数

k

の個数を

n(P)

とするとき、

n(P)-\deg(P)\le2

を証明せよ。

ステップ 1/4: 2つのレベル方程式の根を比較する

P(r)=1,\quad P(s)=-1\quad\Longrightarrow\quad s-r\mid2

詳しい解説

P(r)=1、P(s)=-1 を満たす整数 r,s では、整数係数多項式の性質より s-r は P(s)-P(r)=-2 を割り切る。したがってその差の絶対値は1または2である。