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第6問

整数係数をもつ非定数多項式 PP を考える。P(k)2=1P(k)^2=1 を満たす相異なる整数 kk の個数を n(P)n(P) とするとき、n(P)−deg⁡(P)≤2n(P)-\deg(P)\le2 を証明せよ。
ステップ 3/4: 最小の例外整数から始める
r=min⁡{k:P(k)2=1}r=\min\{k:P(k)^2=1\}
詳しい解説

P(r)=1 または -1 となる最小の整数を r とし、対応する方程式の根を数える。それは高々 d 個である。他方の方程式の根はすべて r 以上で r とは異なるので、前段の整除性から r+1 または r+2 に限られる。