MathLabs

第1問

x,y,zx,y,z を非負実数で x+y+z=1x+y+z=1 を満たすものとする。0≤xy+yz+zx−2xyz≤7270\le xy+yz+zx-2xyz\le\frac{7}{27} を示せ。
ステップ 2/4: 二つのパラメータに帰着する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

二変数の和を固定すると積は二変数が等しいとき最大になる。このため三変数の問題を一変数の境界確認にできる。

s=x+y,p=xy,f=s−s2+p(2s−1),0≤p≤s2/4s=x+y,\quad p=xy,\quad f=s-s^2+p(2s-1),\quad 0\le p\le s^2/4
詳しい解説

z=1−sz=1-s を代入すると f=s−s2+p(2s−1)f=s-s^2+p(2s-1) となる。ss を固定すれば、相加相乗平均より p=xyp=xy かつ 0≤p≤s2/40\le p\le s^2/4 である。