第1問

x,y,z

を非負実数で

x+y+z=1

を満たすものとする。

0\le xy+yz+zx-2xyz\le\frac{7}{27}

を示せ。

ステップ 3/4: 二つの符号の場合を扱う

ざっくり言うと

区間上の一次関数の最大値は端点で取られ、係数の符号が選ぶべき端点を決める。

s\le\frac12:\ f\le s(1-s)\le\frac14<\frac7{27};\qquad s\ge\frac12:\ f\le g(s)=\frac12s^3-\frac54s^2+s

対象区間における三次式と上界との差。

詳しい解説

$s\le1/2$ では $p$ の係数が非正なので最大は $p=0$ で得られる。 $s\ge1/2$ では係数が非負なので $p=s^2/4$ とすればよく、表示された三次式 $g$ を得る。