MathLabs

第1問

x,y,zx,y,z を非負実数で x+y+z=1x+y+z=1 を満たすものとする。0≤xy+yz+zx−2xyz≤7270\le xy+yz+zx-2xyz\le\frac{7}{27} を示せ。
ステップ 4/4: 最後の三次式を因数分解する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

平方因子は均衡点を示しており、上界は三変数がすべて等しいときだけ達成される。

727−g(s)=−(3s−2)2(6s−7)108≥0(12≤s≤1)\frac7{27}-g(s)=-\frac{(3s-2)^2(6s-7)}{108}\ge0\quad(\tfrac12\le s\le1)
詳しい解説

[1/2,1][1/2,1] では平方項は非負で 6s−7<06s-7<0 だから、因数分解された式は非負である。等号は s=2/3s=2/3 かつ p=s2/4p=s^2/4、すなわち x=y=z=1/3x=y=z=1/3 で成立する。