第2問

ab(a+b)

が

7

で割り切れない一組の正整数

a,b

で、

(a+b)^7-a^7-b^7

が

7^7

で割り切れるものを一つ求めよ。

ステップ 2/3: 具体的な組を選ぶ

ざっくり言うと

$b=1$ という小さな選択で二次因子は $a^2+a+1$ となり、 $a=18$ によって必要な七のべきそのものになる。

a=18,\quad b=1,\quad ab(a+b)=342,\quad a^2+ab+b^2=343=7^3

詳しい解説

この組では $ab(a+b)=18\cdot1\cdot19=342$ は $7$ で割り切れず、一方 $a^2+ab+b^2=324+18+1=343=7^3$ である。