第3問

平面上の点

O

と

A

を固定し、平面の各点を有限個の色のいずれかで塗る。点

X

に対し、

C(X)

を中心

O

、半径

OX+\frac{\angle AOX}{OX}

の円とする。ただし

\angle AOX

はラジアンで

\left[0,2\pi\right)

の範囲で測る。

OA

上にない点

X

で、

X

の色が円

C(X)

の円周上にも現れるものが存在することを示せ。

ステップ 4/6: 最初に繰り返す色を使う

ざっくり言うと

始点で繰り返す色は対応する円からその色を排除する。さもなければ定理が直ちに成り立つ。

x_{1,j_k}\text{ all have color }c_1\ \Longrightarrow\ c_1\text{ is absent from }\mathcal C_{1+j_k}

詳しい解説

求める点が存在しないと仮定する。第一行には有限色しかないので、ある色 $c_1$ が無限個の $x_{1,j_k}$ に現れる。 $\mathcal C_{1+j_k}$ 上に $c_1$ が現れればその点が求める点になるため、各円では $c_1$ は禁止される。