第1問

三角形ABCの内心をIとする。角A,B,Cの内角の二等分線が対辺と交わる点をそれぞれA',B',C'とする。

1/4<AI\cdot BI\cdot CI/(AA'\cdot BB'\cdot CC')\le8/27

を証明せよ。

ステップ 2/4: 上界に相加相乗平均を適用する

P=\frac{(CA+AB)(AB+BC)(BC+CA)}{p^3}\le\left(\frac23\right)^3=\frac8{27}

詳しい解説

分子の3因子の和は2pなので算術平均は2p/3である。相加相乗平均より積は(2p/3)^3以下。p^3で割れば上界を得る。