第2問

n>6を整数とし、

a_1,a_2,\ldots,a_k

をn未満でnと互いに素な正整数を昇順に並べたものとする。

a_2-a_1=a_3-a_2=\cdots=a_k-a_{k-1}>0

ならば、nは素数または2のべきであることを証明せよ。

ステップ 2/5: nが奇数なら素数

n\text{ odd}\ \Longrightarrow\ 1,2\text{ are reduced}\ \Longrightarrow d=1\ \Longrightarrow n\text{ prime}

詳しい解説

nが奇数なら1と2はいずれもnと互いに素である。よってdは2−1=1を割り、d=1。等差列はn未満の全正整数を含むので、それらはすべてnと互いに素となる。合成数nにはn未満の真の約数があり矛盾。