MathLabs

第2問

n>6を整数とし、a1,a2,…,aka_1,a_2,\ldots,a_kをn未満でnと互いに素な正整数を昇順に並べたものとする。a2−a1=a3−a2=⋯=ak−ak−1>0a_2-a_1=a_3-a_2=\cdots=a_k-a_{k-1}>0 ならば、nは素数または2のべきであることを証明せよ。
ステップ 5/5: 2を法とする4の剰余の場合は不可能
前のステップ次のステップ
n=4m+2>6:2m+1∣n,gcd⁡(2m+3,n)=gcd⁡(2m+5,n)=1n=4m+2>6:\quad 2m+1\mid n,\quad \gcd(2m+3,n)=\gcd(2m+5,n)=1
詳しい解説

n=4m+2なら2m+1はnを割る。一方、gcd(2m+3,n)は4を割る奇数、gcd(2m+5,n)は8を割る奇数なので、ともに1である。n>6より両数はn未満。列に現れ差は2だからdは2を割る。d=1なら2m+1を含み、d=2でもこの奇数を含むため、いずれも互いに素でないことに矛盾する。