MathLabs

第4問

k本の辺をもつ連結グラフGを考える。各辺に 1,2,…,k1,2,\ldots,k を付け、2本以上の辺に接する各頂点で、それらの辺のラベルの最大公約数が1となるようにできることを証明せよ。
ステップ 4/4: ラベル済み領域の境界で繰り返す
repeat until every edge has one of 1,2,…,k\text{repeat until every edge has one of }1,2,\ldots,k
詳しい解説

未ラベル辺が残れば、連結性によりラベル済み辺と未ラベル辺の両方に接する境界頂点Cがある。Cから次の極大未ラベル路を始め、次の未使用連続ラベルを付ける。Cは既に不変条件を満たし、新しい内部頂点は連続ラベルで安全、終点も葉または処理済みの議論で安全である。全k辺を処理して終了する。