MathLabs

第6問

任意の実数a>1に対し、相異なるn,mのすべてについて ∣xn−xm∣ ∣n−m∣a≥1|x_n-x_m|\,|n-m|^a\ge1 を満たす有界な無限列x0,x1,x2,…x_0,x_1,x_2,\ldots を構成せよ。
ステップ 2/4: 2進桁から列を定義する
前のステップ次のステップ
n=∑i≥0bi2i,xn=1c∑bi=1tin=\sum_{i\ge0}b_i2^i,\qquad x_n=\frac1c\sum_{b_i=1}t^i
詳しい解説

各非負整数nをビットb_i∈{0,1}の2進展開で書き、ビットが1の位置のt^iの重み付き和をcで割ってx_nとする。全項は非負で、x_n≤(全t^iの和)/c=1/(1−2t)だから列は有界。