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第6問

任意の実数a>1に対し、相異なるn,mのすべてについて ∣xn−xm∣ ∣n−m∣a≥1|x_n-x_m|\,|n-m|^a\ge1 を満たす有界な無限列x0,x1,x2,…x_0,x_1,x_2,\ldots を構成せよ。
ステップ 4/4: 尾部を評価して結論する
c∣xn−xm∣>ctk,∣xn−xm∣ ∣n−m∣a>ctk2ak=1c|x_n-x_m|>ct^k,\qquad |x_n-x_m|\,|n-m|^a>ct^k2^{ak}=1
詳しい解説

最初に異なるビットの寄与はc(x_n−x_m)で絶対値t^k。残りの尾部は−t^(k+1)/(1−t)以上である。従ってc|x_n−x_m|>t^k(1−t/(1−t))=ct^k。|n−m|^a≥2^(ak)を掛ければ積はt^k2^(ak)=1より大きく、所要の不等式を得る。