国際数学オリンピック · 2006年

問題

第1問 $ABC$ を内心 $I$ を持つ三角形とする。三角形の内部の点 $P$ が $\angle PBA+\angle PCA = \angle PBC+\angle PCB$ を満たしている。このとき $AP \geq AI$ であり、等号成立は $P=I$ のときに限ることを示せ。解答: 1
第2問 $P$ を正 $2006$ 角形とする。 $P$ の対角線は、その両端点が $P$ の周をそれぞれ奇数個の $P$ の辺からなる二つの部分に分けるとき、良いと呼ぶ。 $P$ の辺もまた良いと呼ぶ。 $P$ が、 $P$ の内部で共有点を持たない $2003$ 本の対角線によって三角形に分割されているとする。このような配置に現れ得る、二つの良い辺を持つ二等辺三角形の個数の最大値を求めよ。解答: 1
第3問すべての実数 $a$ , $b$ , $c$ に対して不等式 $\left| ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})\right|\leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$ が成り立つような実数 $M$ の最小値を求めよ。解答: 1
第4問 $1+2^{x}+2^{2x+1}=y^{2}$ を満たす整数の組 $(x,y)$ をすべて求めよ。解答: 1
第5問整数係数をもつ次数 $n>1$ の多項式 $P(x)$ と正の整数 $k$ をとる。 $P$ が $k$ 回現れる合成 $Q(x)=P(P(\ldots P(x)\ldots))$ を定める。 $Q(t)=t$ を満たす整数 $t$ は高々 $n$ 個であることを証明せよ。解答: 1
第6問凸多角形 $P$ の各辺 $b$ に対し、 $b$ を一辺とし $P$ に含まれる三角形の面積の最大値を対応させる。 $P$ の各辺に対応させた面積の総和は、 $P$ の面積の二倍以上であることを示せ。解答: 1