コンテスト › 国際数学オリンピック › 2007年 第1問 実数 a 1 , a 2 , … , a n a_1, a_2, \ldots, a_n a 1 , a 2 , … , a n i i i 1 ≤ i ≤ n 1 \le i \le n 1 ≤ i ≤ n d i = max { a j : 1 ≤ j ≤ i } − min { a j : i ≤ j ≤ n } d_i = \max\{a_j : 1 \le j \le i\} - \min\{a_j : i \le j \le n\} d i = max { a j : 1 ≤ j ≤ i } − min { a j : i ≤ j ≤ n } d = max { d i : 1 ≤ i ≤ n } d = \max\{d_i : 1 \le i \le n\} d = max { d i : 1 ≤ i ≤ n } x 1 ≤ x 2 ≤ ⋯ ≤ x n x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n x 1 ≤ x 2 ≤ ⋯ ≤ x n max { ∣ x i − a i ∣ : 1 ≤ i ≤ n } ≥ d 2 \max\{|x_i - a_i| : 1 \le i \le n\} \ge \dfrac{d}{2} max { ∣ x i − a i ∣ : 1 ≤ i ≤ n } ≥ 2 d x 1 ≤ x 2 ≤ ⋯ ≤ x n x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n x 1 ≤ x 2 ≤ ⋯ ≤ x n 解答: 1 第2問 5点 A , B , C , D , E A, B, C, D, E A , B , C , D , E A B C D ABCD A B C D B C E D BCED B C E D A A A ℓ \ell ℓ ℓ \ell ℓ D C DC D C F F F B C BC B C G G G E F = E G = E C EF = EG = EC E F = E G = E C ℓ \ell ℓ D A B DAB D A B 解答: 1 第3問 数学コンテストに参加する競技者の中には友人同士の者がいる。友情は常に相互的である。任意の二人が友人であるような競技者の集合をクリークと呼ぶ。（特に、2人未満の任意の集合もクリークである。）クリークの要素数をそのサイズと呼ぶ。このコンテストでクリークの最大サイズが偶数であるとき、競技者を二つの部屋に配置して、一方の部屋に含まれるクリークの最大サイズと他方の部屋に含まれるクリークの最大サイズが等しくなるようにできることを証明せよ。 解答: 1 第4問 三角形 A B C ABC A B C B C A BCA B C A R R R B C BC B C P P P A C AC A C Q Q Q B C BC B C K K K A C AC A C L L L R P K RPK R P K R Q L RQL R Q L 解答: 1 第5問 a a a b b b 4 a b − 1 4ab-1 4 ab − 1 ( 4 a 2 − 1 ) 2 (4a^2-1)^2 ( 4 a 2 − 1 ) 2 a = b a=b a = b 解答: 1 第6問 n n n S = { ( x , y , z ) : x , y , z ∈ { 0 , 1 , … , n } , x + y + z > 0 } S=\{(x,y,z) : x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},\ x+y+z>0\} S = {( x , y , z ) : x , y , z ∈ { 0 , 1 , … , n } , x + y + z > 0 } ( n + 1 ) 3 − 1 (n+1)^3-1 ( n + 1 ) 3 − 1 S S S ( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0) ( 0 , 0 , 0 ) 解答: 1 ホーム ライブラリ 重要問題 クイズ 数学者 コンテスト