国際数学オリンピック · 2011年

問題

第1問四つの相異なる正の整数からなる任意の集合 $A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}$ に対し、和 $a_1+a_2+a_3+a_4$ を $s_A$ と表す。 $1\le i<j\le4$ を満たす組 $(i,j)$ のうち $a_i+a_j$ が $s_A$ を割り切るものの個数を $n_A$ とする。 $n_A$ の取り得る最大値を達成する、四つの相異なる正の整数からなる集合 $A$ をすべて求めよ。解答: 1
第2問平面上の少なくとも2点からなる有限集合 $S$ を考え、 $S$ のどの3点も同一直線上にないとする。風車とは、ただ一点 $P\in S$ を通る直線から始まる過程である。直線は軸 $P$ を中心に時計回りに回転し、 $S$ に属する他の点に初めて出会うまで回転を続ける。この点 $Q$ が新しい軸となり、直線は今度は $Q$ を中心に時計回りに回転し、次に $S$ の点に出会うまで続く。この過程は永遠に続く。 $S$ の中から点 $P$ と、 $P$ を通る直線をうまく選べば、得られる風車が $S$ のすべての点を無限回軸として使うことを示せ。解答: 1
第3問実数全体の集合上で定義された実数値関数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ が、任意の実数 $x$ と $y$ に対して $f(x+y)\le yf(x)+f(f(x))$ を満たすとする。 $x\le0$ のとき常に $f(x)=0$ となることを証明せよ。解答: 1
第4問 $n>0$ を整数とする。天秤と、重さが $2^0,2^1,\dots,2^{n-1}$ である $n$ 個のおもりが与えられている。 $n$ 個のおもりを一つずつ天秤に載せていくとき、右の皿が左の皿より重くなることが決してないようにしたい。各段階で、まだ載せていないおもりを一つ選び、左の皿か右の皿のいずれかに載せる操作を、すべてのおもりを載せ終わるまで続ける。このような載せ方の総数を求めよ。解答: 1
第5問 $f$ を整数全体の集合から正の整数全体の集合への関数とする。任意の二つの整数 $m$ と $n$ に対し、差 $f(m)-f(n)$ が $f(m-n)$ で割り切れると仮定する。 $f(m)\le f(n)$ を満たすすべての整数 $m$ と $n$ に対して、 $f(n)$ が $f(m)$ で割り切れることを証明せよ。解答: 1
第6問 $ABC$ を外接円 $\Gamma$ をもつ鋭角三角形とする。 $\ell$ を $\Gamma$ の接線とし、 $\ell_a$ , $\ell_b$ , $\ell_c$ をそれぞれ $\ell$ を直線 $BC$ , $CA$ , $AB$ に関して反射して得られる直線とする。直線 $\ell_a,\ell_b,\ell_c$ が定める三角形の外接円が円 $\Gamma$ に接することを示せ。解答: 1