国際数学オリンピック · 2015年

問題

第1問平面上の点からなる有限集合 $S$ が、 $S$ 内の任意の異なる2点 $A$ , $B$ に対して $AC=BC$ を満たす点 $C$ が $S$ 内に存在するとき、バランスが取れている と呼ぶことにする。また、 $S$ 内の任意の異なる3点 $A$ , $B$ , $C$ に対して $PA=PB=PC$ を満たす点 $P$ が $S$ 内に存在しないとき、 $S$ は 中心を持たない と呼ぶことにする。 (a) すべての整数 $n\ge3$ に対して、 $n$ 個の点からなるバランスが取れた集合が存在することを示せ。 (b) $n$ 個の点からなるバランスが取れていて中心を持たない集合が存在するような整数 $n\ge3$ をすべて求めよ。解答: 1
第2問正の整数の三つ組 $(a,b,c)$ であって、 $ab-c$ 、 $bc-a$ 、 $ca-b$ の三つの数がいずれも $2$ のべき（ $2$ のべきとは $2^n$ （ $n$ は非負整数）の形の整数のこと）となるものをすべて求めよ。解答: 1
第3問 $ABC$ を $AB>AC$ を満たす鋭角三角形とする。 $\Gamma$ をその外接円、 $H$ をその垂心、 $F$ を $A$ から下ろした高さの足とする。 $M$ を $BC$ の中点とする。 $Q$ を $\Gamma$ 上の点で $\angle HQA=90^\circ$ を満たすものとし、 $K$ を $\Gamma$ 上の点で $\angle HKQ=90^\circ$ を満たすものとする。点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $K$ 、 $Q$ はすべて相異なり、この順序で $\Gamma$ 上にあるとする。三角形 $KQH$ と三角形 $FKM$ の外接円が互いに接することを証明せよ。解答: 1
第4問三角形 $ABC$ の外接円を $\Omega$ 、外心を $O$ とする。中心 $A$ の円 $\Gamma$ は線分 $BC$ と2点 $D$ , $E$ で交わり、 $B$ , $D$ , $E$ , $C$ はすべて異なり、この順に直線 $BC$ 上に並んでいるとする。 $F$ , $G$ を $\Gamma$ と $\Omega$ の交点とし、 $A$ , $F$ , $B$ , $C$ , $G$ がこの順に $\Omega$ 上に並んでいるとする。 $K$ を三角形 $BDF$ の外接円と線分 $AB$ の2つ目の交点とし、 $L$ を三角形 $CGE$ の外接円と線分 $AC$ の2つ目の交点とする。直線 $FK$ と $GL$ が異なり、点 $X$ で交わるとする。 $X$ が直線 $AO$ 上にあることを証明せよ。解答: 1
第5問 $\mathbb{R}$ を実数全体の集合とする。すべての実数 $x$ , $y$ に対して方程式 $f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$ を満たすすべての関数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を求めよ。解答: 1
第6問整数の数列 $a_1,a_2,\dots$ が次の条件を満たすとする：(i) すべての $j\ge1$ に対して $1\le a_j\le 2015$ ；(ii) すべての $1\le k<\ell$ に対して $k+a_k\ne \ell+a_\ell$ 。 $n>m\ge N$ を満たすすべての整数 $m$ , $n$ に対して $\left|\sum_{j=m+1}^{n}(a_j-b)\right|\le 1007^2$ となるような正の整数 $b$ と $N$ が存在することを証明せよ。解答: 1