第1問

n \ge 100

を整数とする。イヴァンは数

n, n+1, \ldots, 2n

をそれぞれ異なるカードに書く。そして、これら

n+1

枚のカードをシャッフルして二つの山に分ける。少なくとも一方の山に、書かれた数の和が平方数になる二枚のカードが含まれることを証明せよ。

ステップ 1/5: 対ごとの和が平方数になる三つ組を構成する

ざっくり言うと

連続する三つの平方数 $(2k-1)^2,(2k)^2,(2k+1)^2$ は、ある三つ組の整数の対ごとの和として同時に実現できる。

a=2k^2-4k,\quad b=2k^2+1,\quad c=2k^2+4k

詳しい解説

$a+b=(2k-1)^2$ 、 $b+c=(2k+1)^2$ 、 $c+a=(2k)^2$ とおく。この連立一次方程式を解くと $a=2k^2-4k$ 、 $b=2k^2+1$ 、 $c=2k^2+4k$ となる。以下で用いる範囲 $k\ge9$ では $a<b<c$ が成り立つ。