MathLabs

第1問

n≥100n \ge 100 を整数とする。イヴァンは数 n,n+1,…,2nn, n+1, \ldots, 2n をそれぞれ異なるカードに書く。そして、これら n+1n+1 枚のカードをシャッフルして二つの山に分ける。少なくとも一方の山に、書かれた数の和が平方数になる二枚のカードが含まれることを証明せよ。
ステップ 2/5: a,b,ca,b,c がすべて [n,2n][n,2n] に収まる条件を求める
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

三つ組の最小値が nn 以上、最大値が 2n2n 以下であることを要求すると、与えられた kk に対してどの nn が使えるかがちょうど定まる。

Ik={n∈Z:k2+2k≤n≤2k2−4k}I_k=\{n\in\mathbb{Z}: k^2+2k\le n\le 2k^2-4k\}
詳しい解説

三つ組が [n,2n][n,2n] に入るのは a≥na\ge n かつ c≤2nc\le 2n、すなわち 2k2−4k≥n2k^2-4k\ge n かつ k2+2k≤nk^2+2k\le n のときに限る。したがって、この三つ組が使えるのはちょうど nn が区間 Ik={n∈Z:k2+2k≤n≤2k2−4k}I_k=\{n\in\mathbb{Z}: k^2+2k\le n\le 2k^2-4k\} に属するときである。