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第1問

n≥100n \ge 100 を整数とする。イヴァンは数 n,n+1,…,2nn, n+1, \ldots, 2n をそれぞれ異なるカードに書く。そして、これら n+1n+1 枚のカードをシャッフルして二つの山に分ける。少なくとも一方の山に、書かれた数の和が平方数になる二枚のカードが含まれることを証明せよ。
ステップ 4/5: k≥9k\ge9 のとき隣り合う区間が重なることを示す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

IkI_k の右端が Ik+1I_{k+1} の左端より少なくとも1小さい値に達していれば、区間の間に整数の隙間は残らない。

2k2−4k≥(k+1)2+2(k+1)−12k^2-4k\ge (k+1)^2+2(k+1)-1
詳しい解説

k≥9k\ge9 のとき 2k2−4k≥(k+1)2+2(k+1)−12k^2-4k\ge (k+1)^2+2(k+1)-1（同値な条件 k2−8k−2≥0k^2-8k-2\ge0 は k≥9k\ge9 で成り立つ）が確かめられるので、IkI_k の右端は Ik+1I_{k+1} の左端の直前の整数に少なくとも達する。したがって I9,I10,I11,…I_9,I_{10},I_{11},\ldots は 9999 以降のすべての整数を隙間なく覆う。