任意の n≥100n\ge100n≥100 に対して a,b,c∈{n,n+1,…,2n}a,b,c\in\{n,n+1,\ldots,2n\}a,b,c∈{n,n+1,…,2n} が存在し、a+ba+ba+b、b+cb+cb+c、c+ac+ac+a はすべて平方数になる。この三枚のカードを二つの山に分けると、鳩の巣原理により必ず二枚が同じ山に入り、その和は既に (2k−1)2,(2k)2,(2k+1)2(2k-1)^2,(2k)^2,(2k+1)^2(2k−1)2,(2k)2,(2k+1)2 のいずれかであるから、証明が完了する。