MathLabs

第2問

すべての実数 x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n に対して、不等式 ∑i=1n∑j=1n∣xi−xj∣≤∑i=1n∑j=1n∣xi+xj∣\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\le\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|} が成り立つことを示せ。
ステップ 2/5: すべての変数を tt だけ平行移動し右辺を分離する
前のステップ次のステップ
F(t)=∑i=1n∑j=1n∣xi+xj+2t∣F(t)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j+2t|}
詳しい解説

すべての ii について xix_i を xi+tx_i+t に置き換えても ∑i,j∣xi−xj∣\sum_{i,j}\sqrt{|x_i-x_j|} は変わらず、右辺は関数 F(t)=∑i=1n∑j=1n∣xi+xj+2t∣F(t)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j+2t|} になる。よって、右辺を min⁡tF(t)\min_t F(t) に置き換えた不等式を示せば十分である。