MathLabs

第2問

すべての実数 x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n に対して、不等式 ∑i=1n∑j=1n∣xi−xj∣≤∑i=1n∑j=1n∣xi+xj∣\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\le\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|} が成り立つことを示せ。
ステップ 3/5: FF は区分的に凹なので折れ点で最小になる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

両端で発散する区分的凹関数は、有限個ある折れ点のいずれかで最小値を取る。

F(t)→∞ as ∣t∣→∞F(t)\to\infty\ \text{as } |t|\to\infty
詳しい解説

各項 ∣xi+xj+2t∣\sqrt{|x_i+x_j+2t|} はその零点の両側でそれぞれ凹であるから、F(t)F(t) は（ xi+xj+2t=0x_i+x_j+2t=0 となる）有限個の折れ点を持つ区分的凹関数であり、∣t∣→∞|t|\to\infty で F(t)→∞F(t)\to\infty となる。各凹な区間では最小値は端点で達成されるので、FF の大域的最小値はある折れ点、すなわちある ii に対する t=−xit=-x_i（対角項 j=ij=i）か、ある i≠ji\ne j に対する t=−xi+xj2t=-\tfrac{x_i+x_j}{2} のいずれかで生じる。