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第2問

すべての実数 x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n に対して、不等式 ∑i=1n∑j=1n∣xi−xj∣≤∑i=1n∑j=1n∣xi+xj∣\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\le\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|} が成り立つことを示せ。
ステップ 4/5: t=−xit=-x_i の場合：一つの変数を除いて帰納法を用いる
前のステップ次のステップ
t=−xi ⇒ xi+t=0t=-x_i\ \Rightarrow\ x_i+t=0
詳しい解説

最小値が t=−xit=-x_i で生じるならば、平行移動後には第 ii 変数が 00 になり、FF の第 ii 行と列は 2∑j∣xj∣2\sum_{j}\sqrt{|x_j|} を寄与する。これは ∑p,q∣xp−xq∣\sum_{p,q}\sqrt{|x_p-x_q|} の対応する行・列とちょうど一致するので、この等しい寄与を打ち消すと、不等式は残り n−1n-1 個の変数に対する同じ命題に帰着し、帰納法の仮定により成り立つ。