MathLabs

第2問

すべての実数 x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n に対して、不等式 ∑i=1n∑j=1n∣xi−xj∣≤∑i=1n∑j=1n∣xi+xj∣\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\le\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|} が成り立つことを示せ。
ステップ 5/5: t=−xi+xj2t=-\tfrac{x_i+x_j}{2} の場合：一組を除いて帰納法を用いる
前のステップ次のステップ
t=−xi+xj2 ⇒ xi+t=−(xj+t)t=-\tfrac{x_i+x_j}{2}\ \Rightarrow\ x_i+t=-(x_j+t)
詳しい解説

一方、最小値が t=−xi+xj2t=-\tfrac{x_i+x_j}{2} で生じるならば、平行移動後 xi+t=−(xj+t)x_i+t=-(x_j+t) となるので、ラベル ii と jj を入れ替えても ii または jj を含む項 ∣xp+xq+2t∣\sqrt{|x_p+x_q+2t|} の多重集合は変わらず、それは ∑p,q∣xp−xq∣\sum_{p,q}\sqrt{|x_p-x_q|} の対応する項に一致する。i,ji,j で添字づけられた行と列は両辺で再び一致し、この二変数を除くと不等式は n−2n-2 個の変数に帰着し、帰納法と証明が完了する。