MathLabs

第3問

鋭角三角形 ABCABC（AB>ACAB>AC）の内部の点 DD が ∠DAB=∠CAD\angle DAB=\angle CAD を満たすとする。線分 ACAC 上の点 EE は ∠ADE=∠BCD\angle ADE=\angle BCD を、線分 ABAB 上の点 FF は ∠FDA=∠DBC\angle FDA=\angle DBC を満たし、直線 ACAC 上の点 XX は CX=BXCX=BX を満たす。三角形 ADCADC と EXDEXD の外心をそれぞれ O1O_1、O2O_2 とする。直線 BCBC、EFEF、O1O2O_1O_2 が一点で交わることを証明せよ。
ステップ 1/6: DD の等角共役点を用いて BCEFBCEF が円に内接することを示す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

EE と FF を定める角度条件は、まさに EE と FF が DD とその等角共役点を通る円上にあるための条件になっている。

AE⋅AC=AD⋅AD′=AF⋅ABAE\cdot AC=AD\cdot AD'=AF\cdot AB
詳しい解説

D′D' を ∠BAC\angle BAC に関する DD の等角共役点とする。角度条件 ∠ADE=∠BCD\angle ADE=\angle BCD と ∠FDA=∠DBC\angle FDA=\angle DBC により四角形 CEDD′CEDD' と BFDD′BFDD' は円に内接し、AA における方べきの計算から AE⋅AC=AD⋅AD′=AF⋅ABAE\cdot AC=AD\cdot AD'=AF\cdot AB が得られる。したがって B,C,E,FB,C,E,F は共通の円上にある。