MathLabs

第3問

鋭角三角形 ABCABC（AB>ACAB>AC）の内部の点 DD が ∠DAB=∠CAD\angle DAB=\angle CAD を満たすとする。線分 ACAC 上の点 EE は ∠ADE=∠BCD\angle ADE=\angle BCD を、線分 ABAB 上の点 FF は ∠FDA=∠DBC\angle FDA=\angle DBC を満たし、直線 ACAC 上の点 XX は CX=BXCX=BX を満たす。三角形 ADCADC と EXDEXD の外心をそれぞれ O1O_1、O2O_2 とする。直線 BCBC、EFEF、O1O2O_1O_2 が一点で交わることを証明せよ。
ステップ 2/6: DD における接線を用いる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

接点は二つの円に対する等しい方べきを生む。

P=BC∩tD(BCD),PD is tangent to (DEF)P=BC\cap t_D(BCD),\qquad PD\text{ is tangent to }(DEF)
詳しい解説

P=BC∩tD(BCD)P=BC\cap t_D(BCD) とおく。問題の角度条件と DAB=CADDAB=CAD から ∠PDE=∠DFE\angle PDE=\angle DFE が得られるので、PDPD は DD における (DEF)(DEF) の接線である。