MathLabs

第3問

鋭角三角形 ABCABC（AB>ACAB>AC）の内部の点 DD が ∠DAB=∠CAD\angle DAB=\angle CAD を満たすとする。線分 ACAC 上の点 EE は ∠ADE=∠BCD\angle ADE=\angle BCD を、線分 ABAB 上の点 FF は ∠FDA=∠DBC\angle FDA=\angle DBC を満たし、直線 ACAC 上の点 XX は CX=BXCX=BX を満たす。三角形 ADCADC と EXDEXD の外心をそれぞれ O1O_1、O2O_2 とする。直線 BCBC、EFEF、O1O2O_1O_2 が一点で交わることを証明せよ。
ステップ 3/6: 反転する点の組を得る
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

等しい方べきが一つの反転で交換される点の組を決める。

PD2=PC⋅PB=PE⋅PFPD^2=PC\cdot PB=PE\cdot PF
詳しい解説

PP における接線・割線の定理から PD2=PC⋅PBPD^2=PC\cdot PB である。また PDPD は (DEF)(DEF) の接線なので PD2=PE⋅PFPD^2=PE\cdot PF も成り立つ。したがって中心 PP、半径 PDPD の反転は B↔CB\leftrightarrow C、E↔FE\leftrightarrow F を交換する。