MathLabs

第3問

鋭角三角形 ABCABC（AB>ACAB>AC）の内部の点 DD が ∠DAB=∠CAD\angle DAB=\angle CAD を満たすとする。線分 ACAC 上の点 EE は ∠ADE=∠BCD\angle ADE=\angle BCD を、線分 ABAB 上の点 FF は ∠FDA=∠DBC\angle FDA=\angle DBC を満たし、直線 ACAC 上の点 XX は CX=BXCX=BX を満たす。三角形 ADCADC と EXDEXD の外心をそれぞれ O1O_1、O2O_2 とする。直線 BCBC、EFEF、O1O2O_1O_2 が一点で交わることを証明せよ。
ステップ 4/6: 逆円を追跡する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

各解答円の逆円は固定した補助円と単純な共通弦を持つ。

A′=inv⁡P(A),(ACD)↔(A′BD),(EXD)↔(A′BX)A'=\operatorname{inv}_P(A),\qquad (ACD)\leftrightarrow(A'BD),\quad (EXD)\leftrightarrow(A'BX)
詳しい解説

A′A' を AA の逆点とする。B↔CB\leftrightarrow C なので (ACD)(ACD) の逆円は (A′BD)(A'BD) であり、CX=BXCX=BX と角条件から得られる反平行性により (EXD)(EXD) の逆円は (A′BX)(A'BX) である。(ACD)(ACD)、(A′BD)(A'BD)、(ABC)(ABC) の根心を YY とすると、共通弦から YY は (EXD)(EXD) に対しても同じ方べきを持つ。