MathLabs

第3問

鋭角三角形 ABCABC（AB>ACAB>AC）の内部の点 DD が ∠DAB=∠CAD\angle DAB=\angle CAD を満たすとする。線分 ACAC 上の点 EE は ∠ADE=∠BCD\angle ADE=\angle BCD を、線分 ABAB 上の点 FF は ∠FDA=∠DBC\angle FDA=\angle DBC を満たし、直線 ACAC 上の点 XX は CX=BXCX=BX を満たす。三角形 ADCADC と EXDEXD の外心をそれぞれ O1O_1、O2O_2 とする。直線 BCBC、EFEF、O1O2O_1O_2 が一点で交わることを証明せよ。
ステップ 5/6: 三つの中心が共線であることを示す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

根心での共通の方べきにより、二つの元の中心は PP を通る垂直二等分線上に置かれる。

P,O1,O2 are collinearP,O_1,O_2\text{ are collinear}
詳しい解説

(ACD)(ACD) と (EXD)(EXD) の第二交点を TT とする。逆円の構成から TT は中心 PP、半径 PDPD の円上にあり、PT=PDPT=PD である。O1O_1 と O2O_2 はともに D,TD,T を通る円の中心なので、両者は DTDT の垂直二等分線上にある。PP も同じ直線上にあるから、P,O1,O2P,O_1,O_2 は共線である。