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第4問

II を中心とする円 Γ\Gamma があり、ABCDABCD は辺 ABAB、BCBC、CDCD、DADA がいずれも Γ\Gamma に接する凸四角形であるとする。Ω\Omega を三角形 AICAIC の外接円とする。BABA を AA の先へ延長すると Ω\Omega と点 XX で交わり、BCBC を CC の先へ延長すると Ω\Omega と点 ZZ で交わる。ADAD と CDCD をそれぞれ DD の先へ延長すると Ω\Omega と点 YY、TT で交わる。次の等式を証明せよ。 AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.
ステップ 1/6: 内接円の接点に名前を付ける
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

円の外部の任意の点からその円へ引いた二本の接線分の長さは常に等しい。

AP=AS,BP=BQ,CQ=CR,DR=DSAP=AS,\quad BP=BQ,\quad CQ=CR,\quad DR=DS
詳しい解説

Γ\Gamma が AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA に接する点をそれぞれ P,Q,R,SP,Q,R,S とする。四角形に内接する円の接線の長さが等しいという標準的な性質から AP=ASAP=AS、BP=BQBP=BQ、CQ=CRCQ=CR、DR=DSDR=DS が得られる。