MathLabs

第4問

II を中心とする円 Γ\Gamma があり、ABCDABCD は辺 ABAB、BCBC、CDCD、DADA がいずれも Γ\Gamma に接する凸四角形であるとする。Ω\Omega を三角形 AICAIC の外接円とする。BABA を AA の先へ延長すると Ω\Omega と点 XX で交わり、BCBC を CC の先へ延長すると Ω\Omega と点 ZZ で交わる。ADAD と CDCD をそれぞれ DD の先へ延長すると Ω\Omega と点 YY、TT で交わる。次の等式を証明せよ。 AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.
ステップ 2/6: 反射対称性を見つける
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

二つの円の中心を結ぶ軸が Ω\Omega 上の向かい合う点を交換する。

X↔Y,T↔Zunder reflection in OIX\leftrightarrow Y,\quad T\leftrightarrow Z\quad\text{under reflection in }OI
詳しい解説

OO を Ω\Omega の中心とする。II は接四角形の内心なので、円に内接する四角形 ACZXACZX の角度追跡から ∠IZX=∠IAB=∠IAD=∠IAY\angle IZX=\angle IAB=\angle IAD=\angle IAY を得る。したがって弦 IXIX と IYIY は等しく、X,YX,Y は OIOI に関して鏡映である。同様に C,I,T,ZC,I,T,Z について T,ZT,Z も OIOI に関して鏡映である。