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第4問

II を中心とする円 Γ\Gamma があり、ABCDABCD は辺 ABAB、BCBC、CDCD、DADA がいずれも Γ\Gamma に接する凸四角形であるとする。Ω\Omega を三角形 AICAIC の外接円とする。BABA を AA の先へ延長すると Ω\Omega と点 XX で交わり、BCBC を CC の先へ延長すると Ω\Omega と点 ZZ で交わる。ADAD と CDCD をそれぞれ DD の先へ延長すると Ω\Omega と点 YY、TT で交わる。次の等式を証明せよ。 AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.
ステップ 4/6: 接線の長さを使って AD+DT+XAAD+DT+XA を書き換える
AD+DT+XA=RT+XPAD+DT+XA=RT+XP
詳しい解説

SS は辺 DADA 上で AA と DD の間にあるので AD=AS+SD=AP+DRAD=AS+SD=AP+DR。C,R,D,TC,R,D,T はこの順で直線 CDCD 上にあるので DT=RT−RDDT=RT-RD。X,A,P,BX,A,P,B はこの順で直線 ABAB 上にあるので XA=XP−APXA=XP-AP。これらを足すと AD−DR−AP=0AD-DR-AP=0 より AD+DT+XA=(AD−DR−AP)+RT+XP=RT+XPAD+DT+XA=(AD-DR-AP)+RT+XP=RT+XP となる。