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第4問

II を中心とする円 Γ\Gamma があり、ABCDABCD は辺 ABAB、BCBC、CDCD、DADA がいずれも Γ\Gamma に接する凸四角形であるとする。Ω\Omega を三角形 AICAIC の外接円とする。BABA を AA の先へ延長すると Ω\Omega と点 XX で交わり、BCBC を CC の先へ延長すると Ω\Omega と点 ZZ で交わる。ADAD と CDCD をそれぞれ DD の先へ延長すると Ω\Omega と点 YY、TT で交わる。次の等式を証明せよ。 AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.
ステップ 5/6: 同様の方法で CD+DY+ZCCD+DY+ZC を書き換える
CD+DY+ZC=SY+ZQCD+DY+ZC=SY+ZQ
詳しい解説

対称的に CD=CR+RD=CQ+DSCD=CR+RD=CQ+DS であり、直線 ADAD 上の順序 A,S,D,YA,S,D,Y と直線 BCBC 上の順序 B,Q,C,ZB,Q,C,Z から DY=SY−SDDY=SY-SD、ZC=ZQ−QCZC=ZQ-QC が得られる。これらを足すと CD−DS−QC=0CD-DS-QC=0 より CD+DY+ZC=(CD−DS−QC)+SY+ZQ=SY+ZQCD+DY+ZC=(CD-DS-QC)+SY+ZQ=SY+ZQ となる。